\subsection{一元一次不等式组及其解法}\label{subsec:14-12}

我们已经学习了一元一次不等式，现在来学习一元一次不等式组。

几个一元一次不等式所组成的不等式组叫做\zhongdian{一元一次不等式组}，
所有这些一元一次不等式的解集的公共部分叫做这个一元一次不等式组的\zhongdian{解集}。


\liti 解不等式组
$$\begin{cases}
    2x - 1 > x + 1 \douhao \\
    x + 8 < 4x - 1 \juhao
\end{cases}$$

\jie 不等式 $2x - 1 > x + 1$ 的解集是 $x > 2$。

不等式 $x + 8 < 4x - 1$ 的解集是 $x > 3$。

所以这个不等式组的解集是 $x > 3$。

把这个不等式组的解集在数轴上表示出来，如图 \ref{fig:14-27} 所示。

\begin{figure}[htbp]
    \centering
    \begin{minipage}[b]{7cm}
    \centering
    \input{../pic/czds4-ch14-27}
    \caption{}\label{fig:14-27}
    \end{minipage}
    \qquad
    \begin{minipage}[b]{7cm}
    \centering
    \input{../pic/czds4-ch14-28}
    \caption{}\label{fig:14-28}
    \end{minipage}
\end{figure}

\begin{enhancedline}
\liti 解不等式组
$$\begin{cases}
    5x - 2 > 3(x + 1) \douhao \\
    \dfrac{1}{2}x - 1 \leqslant 7 - \dfrac{3}{2}x \juhao
\end{cases}$$

\jie 不等式 $5x - 2 > 3(x + 1)$ 的解集是 $x > 2\dfrac{1}{2}$。

不等式 $\dfrac{1}{2}x - 1 \leqslant 7 - \dfrac{3}{2}x$ 的解集是 $x \leqslant 4$。

所以这个不等式组的解集是 $2\dfrac{1}{2} < x \leqslant 4$。

把这个不等式组的解集在数轴上表示出来，如图 \ref{fig:14-28} 所示。
\end{enhancedline}



\liti 解不等式组
$$\begin{cases}
    2x + 3 < 5 \douhao \\
    3x - 2 > 4 \juhao
\end{cases}$$

\jie 不等式 $2x + 3 < 5$ 的解集是 $x < 1$。

不等式 $3x - 2 > 4$ 的解集是 $x > 2$。

由此可知，两个不等式的解集没有公共部分，也就是说，没有一个数能够使得两个不等式同时成立。
这时，我们说不等式组的解集是空集。

从上面的例子可以看出，两个一元一次不等式所组成的不等式组的解集有以下四种情形

设 $a < b$， 那么：

1. 不等式组
$$\begin{cases}
    x > a \douhao \\
    x > b
\end{cases}$$
的解集是 $x > b$ （图 \ref{fig:14-29}）；

\begin{figure}[htbp]
    \centering
    \begin{minipage}[b]{7cm}
    \centering
    \input{../pic/czds4-ch14-29}
    \caption{}\label{fig:14-29}
    \end{minipage}
    \qquad
    \begin{minipage}[b]{7cm}
    \centering
    \input{../pic/czds4-ch14-30}
    \caption{}\label{fig:14-30}
    \end{minipage}
\end{figure}

2. 不等式组
$$\begin{cases}
    x < a \douhao \\
    x < b
\end{cases}$$
的解集是 $x < a$ （图 \ref{fig:14-30}）；


\begin{wrapfigure}[5]{r}{6.5cm}
    \centering
    \input{../pic/czds4-ch14-31}
    \caption{}\label{fig:14-31}
\end{wrapfigure}

3. 不等式组
$$\begin{cases}
    x > a \douhao \\
    x < b
\end{cases}$$
的解集是 $a < x < b$ （图 \ref{fig:14-31}）；


4. 不等式组
$$\begin{cases}
    x < a \douhao \\
    x > b
\end{cases}$$
的解集是空集。


\lianxi

解下列不等式组，并把不是空集的解集在数轴上表示出来：
\begin{xiaoxiaotis}

    \begin{tblr}{columns={12em, colsep=0pt}}
        \xxt{$\begin{cases}
                x > -4 \douhao \\
                x < 2 \fenhao
            \end{cases}$} & \xxt{$\begin{cases}
                x > -5 \douhao \\
                x > -3 \fenhao
            \end{cases}$} & \xxt{$\begin{cases}
                x < 7 \douhao \\
                x < -1 \fenhao
            \end{cases}$} \\
        \xxt{$\begin{cases}
                x < 0 \douhao \\
                x > 3 \fenhao
            \end{cases}$} & \xxt{$\begin{cases}
                2x - 1 > 0 \douhao \\
                4 - x > 0 \fenhao
            \end{cases}$} & \xxt{$\begin{cases}
                -3x < 0 \douhao \\
                4x + 7 > 0 \juhao
            \end{cases}$}
    \end{tblr}
\end{xiaoxiaotis}

